নিয়মিত polyhedra: উপাদানের প্রতিসাম্য এবং এলাকার

জ্যামিতি সুন্দর, কারণ বীজগণিত, যা সবসময় স্পষ্ট নয় অসদৃশ কেন এবং কি আপনি কি মনে করেন, একটি চাক্ষুষ বস্তু দেয়। বিভিন্ন সংস্থা এই বিস্ময়কর দুনিয়া নিয়মিত polyhedra বিভূষিত করা।

নিয়মিত polyhedra উপর সাধারণ তথ্য

অনেক, নিয়মিত polyhedrons মতে, বা তারা প্লেটোনীয় কঠিন বস্তুর বলা হয়, অনন্য বৈশিষ্ট্য ভোগদখল। সঙ্গে এই বস্তু বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক অনুমানের সংযুক্ত। আপনি যখন শরীরের জ্যামিতিক ডেটা অধ্যয়ন শুরু, আপনি বুঝতে পারি যে প্রায় নিয়মিত polyhedra যেমন একটা ধারণা সম্পর্কে কিছু জানি না। স্কুলে এই বস্তু উপস্থাপনা সবসময় আকর্ষণীয় নয়, তাই অনেকে মনে করতে পারছি না তারা কি বলা হয়েছে। অধিকাংশ মানুষ স্মরণে এটি শুধু একটি ঘনক্ষেত্র হয়। শরীর জ্যামিতি মধ্যে কেউই নিয়মিত polyhedrons যেমন পরিপূর্ণতা ভোগদখল না। এই সব জ্যামিতিক মৃতদেহ নাম প্রাচীন গ্রীস থেকে সম্ভূত। তারা মুখমন্ডল সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব: চতুস্তলক - চার বাহুবিশিষ্ট, ষটপার্শ্ব - অ্যালেন, অষ্টতলক - অষ্টভুজ, দ্বাদশতলক - dodecahedral, icosahedron - icosahedral। এই জ্যামিতিক শরীরের সকল মহাবিশ্বের প্লেটোর ধারণা গুরুত্বপূর্ণ স্থান অধিকার করেন। - আগুন, icosahedron - জল ঘনক - পৃথিবী, অষ্টতলক - বায়ু চতুস্তলক তাদের চার উপাদান অথবা সত্ত্বা দেহী করছে। দ্বাদশতলক সবকিছুর দেহী। তিনি প্রধান হিসেবে বিবেচনা করা হয়, মহাবিশ্ব প্রতীক হিসেবে।

একটি বহুতলক ধারণার সাধারণীকরণ

বহুতলক যেমন যে বহুভুজের একটি নির্দিষ্ট সংগ্রহ:

• বহুভুজের কোনো পক্ষই প্রতিটি একই সময় একই দিকে আরেকটি বহুভুজ মাত্র এক পাশে হয়;
• বহুভুজ আপনি বহুভুজ তত্প্রতি সংলগ্ন ক্ষণস্থায়ী দ্বারা অপরকে চলতে পারে প্রতিটি থেকে।

পাঁজর - বহুতলক গঠনকারী বহুভুজ তার মুখে এবং তাদের পাশ প্রতিনিধিত্ব করে। polyhedra ছেদচিহ্ন বহুভুজের ছেদচিহ্ন হয়। মেয়াদ বহুভুজ ফ্ল্যাট বদ্ধ পলিরেখার বুঝতে পারেন, তাহলে তারপর একটি বহুতলক এক সংজ্ঞা আসা। কেস যেখানে এই শব্দটি দ্বারা সমতল যে ভাঙ্গা লাইন দ্বারা বেষ্টিত একটি অংশ বোঝানো হয়, এটা বহুভুজ টুকরা গঠিত পৃষ্ঠ বুঝতে হবে। উত্তল বহুতলক শরীর সমতল একপাশে শুয়ে, তার মুখমন্ডল সংলগ্ন বলা হয়।

একটি বহুতলক এবং তার উপাদানের আরেকটি সংজ্ঞা

বহুতলক বহুভুজ গঠিত পৃষ্ঠ নামক, যা জ্যামিতিক শরীর সীমিত করে। এইগুলি হল:

• অ উত্তল;
• উত্তল (ভালমন্দ)।

নিয়মিত বহুতলক - সর্বাধিক প্রতিসাম্য সঙ্গে একটি উত্তল বহুতলক হয়। নিয়মিত polyhedra উপাদানসমূহ:

• চতুস্তলক: 6 পাঁজর 4 মুখমন্ডল 5 ছেদচিহ্ন;
• ষটপার্শ্ব (ঘনক্ষেত্র) 12, 6, 8;
• দ্বাদশতলক 30, 12, 20;
• অষ্টতলক 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12।

ইউলার উপপাদ্য

এটা তোলে স্থাপন প্রান্ত, ছেদচিহ্ন এবং মুখগুলির সংখ্যার মধ্যে একটি সম্পর্ক topologically একটি গোলক হয় সমতুল্য। ছেদচিহ্ন এবং মুখগুলির সংখ্যা (বি + d) থাকতে বিভিন্ন নিয়মিত polyhedra যোগ করার পদ্ধতি এবং তাদের পাঁজর সংখ্যা সঙ্গে তুলনা, এটা এক নিয়ম সেট করা সম্ভব: ছেদচিহ্ন এবং প্রান্ত (P) টি 2. বৃদ্ধি সংখ্যার সমান মুখগুলির সংখ্যা সমষ্টি এটি একটি সহজ সূত্র আহরণ করা সম্ভব:

• বি + D পি + + 2।

এই সূত্র সব উত্তল polyhedra জন্য বৈধ।

মৌলিক সংজ্ঞা

একটি নিয়মিত বহুতলক ধারণা এক বাক্যে বর্ণনা করা অসম্ভব। এটা আরো মূল্যবান এবং ভলিউম হয়। একটি শরীরের যেমন স্বীকৃত হবে, এটা প্রয়োজনীয় যে সংজ্ঞা একটি নম্বর পূরণ করে। সুতরাং, একটি জ্যামিতিক শরীর নিয়মিত বহুতলক যখন এই শর্ত পূরণ করা হয় হবে:

• এটা উত্তল হয়;
• পাঁজর একই সংখ্যক তার ছেদচিহ্ন প্রতিটি এগোয়;
• তার সব মতকে - নিয়মিত বহুভুজ একে অপরের সমান;
• সকল দ্বিতলকোণ কোণ সমান।

নিয়মিত polyhedra এর প্রোপার্টি

সেখানে নিয়মিত polyhedra 5 বিভিন্ন ধরনের হয়:

1. ঘনক (ষটপার্শ্ব) - এটি একটি ফ্ল্যাট চূড়া কোণ 90 ° আছে। এটা একটা 3-পার্শ্বযুক্ত কোণ হয়েছে। পরিমাণ মুখ 270 ° এর চূড়া এ কোণ।
2. চতুস্তলক - 60 ° - এর ফ্ল্যাট চূড়া কোণ। এটা একটা 3-পার্শ্বযুক্ত কোণ হয়েছে। 180 ° - পরিমাণ মুখ চূড়া এ কোণ।
3. অষ্টতলক - 60 ° - এর ফ্ল্যাট চূড়া কোণ। এটা একটা চার বাহুবিশিষ্ট কোণ হয়েছে। 240 ° - পরিমাণ মুখ চূড়া এ কোণ।
4. দ্বাদশতলক - 108 ° একটি ফ্ল্যাট চূড়া কোণ। এটা একটা 3-পার্শ্বযুক্ত কোণ হয়েছে। 324 ° - পরিমাণ মুখ চূড়া এ কোণ।
5. Icosahedron - 60 ° - এটি একটি ফ্ল্যাট চূড়া কোণ হয়েছে। এখান থেকে পাঁচ একতরফা কোণ হয়েছে। পরিমাণ মুখ 300 ° এর চূড়া এ কোণ।

নিয়মিত polyhedra এলাকা

জ্যামিতিক সংস্থা ভূপৃষ্ঠের (এস) মতকে সংখ্যা (জি) দ্বারা গুন একটি নিয়মিত আকারের বহুভুজ এলাকা হিসাবে গণনা করা হয়:

• এস = (ক: 2) x 2G চট্টগ্রাম π / পি।

একটি নিয়মিত বহুতলক ভলিউম

এই মান একটি নিয়মিত পিরামিড যার বেস একটি নিয়মিত বহুভুজ মুখগুলির সংখ্যা ভলিউম গুন দ্বারা গণনা করা হয়, এবং তার উচ্চতা গোলক (রাঃ) -এর খোদাই ব্যাসার্ধ হল:

• ভী = 1: 3rS।

নিয়মিত polyhedra এর ভলিউম

অন্য কোন জ্যামিতিক কঠিন, নিয়মিত polyhedra মত বিভিন্ন ভলিউম আছে। নীচে সূত্র যা দিয়ে তারা নিরূপণ করতে পারেন আছেন:

• চতুস্তলক: α এক্স 3√2: 12;
• অষ্টতলক: α এক্স 3√2: 3;
• icosahedron; α এক্স 3;
• ষটপার্শ্ব (ঘনক্ষেত্র): α এক্স 5 এক্স 3 এক্স (3 + + √5): 12;
• দ্বাদশতলক: α এক্স 3 (15 + + 7√5): 4।

নিয়মিত polyhedra উপাদানসমূহ

ষটপার্শ্ব এবং অষ্টতলক দ্বৈত জ্যামিতিক মৃতদেহ আছে। অন্য কথায়, তারা ঘটনা একে অপরের নামা করতে পারে যে এক centroid অপরের উপরে, এবং তদ্বিপরীত হিসাবে নেওয়া হয়। এছাড়াও ডুয়াল icosahedron এবং দ্বাদশতলক হয়। নিজে শুধুমাত্র চতুস্তলক দ্বৈত হয়। ইউক্লিড পদ্ধতি অনুযায়ী ঘনক্ষেত্র মুখে এ "ছাদ" নির্মাণের একটি দ্বাদশতলক ষটপার্শ্ব থেকে প্রাপ্ত করা যাবে। চতুস্তলক ছেদচিহ্ন ঘনক্ষেত্র কোন 4 ছেদচিহ্ন, প্রান্ত বরাবর না সংলগ্ন জোড়া হয়। ষটপার্শ্ব (ঘনক্ষেত্র) প্রাপ্ত করা যাবে, এবং অন্যান্য নিয়মিত polyhedra থেকে। সত্য যে সত্ত্বেও নিয়মিত বহুভুজ অসংখ্য, নিয়মিত polyhedra আছে, সেখানে মাত্র 5 হয়।

নিয়মিত বহুভুজের ব্যাসার্ধ

এই জ্যামিতিক মৃতদেহ প্রতিটি সঙ্গে সংযুক্ত সমকেন্দ্রি গোলকের 3 আছেন:

• ছেদচিহ্ন মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী বর্ণনা;
• এটা মাঝখানে তার মুখমন্ডল প্রতিটি সংক্রান্ত খোদাই;
• মধ্যমা মাঝখানে সব প্রান্ত বিষয়ে।

গোলক নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা বর্ণিত ব্যাসার্ধ হিসাব করা হয়:

• আর একটি =: 2 এক্স TG π / ছ এক্স TG θ: 2।

খোদাই গোলক ব্যাসার্ধ নিম্নরূপ হিসাব করা হয়:

• আর একটি =: 2 এক্স চট্টগ্রাম π; / p & এক্স TG θ: 2,

যেখানে θ - দ্বিতলকোণ যা সংলগ্ন মতকে মধ্যে।

গোলক মধ্যমা ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে হিসাব করা যেতে পারে:

• ρ = একটি কোসাইন্ π; / p &: 2 পাপ π / ঘঃ,

যেখানে জ 4.6, 6.10, অথবা -10 খোদাই বর্ণনা ব্যাসার্ধ অনুপাত এবং নিয়মনিষ্ঠভাবে P এবং Q থেকে সম্মান সঙ্গে মাত্রার =। নিম্নরূপ এটা হিসাব করা হয়:

• আর / R = TG π; / p & এক্স TG π / কুই।

polyhedra প্রতিসাম্য

নিয়মিত polyhedra প্রতিসাম্য এই জ্যামিতিক মৃতদেহ প্রাথমিক আগ্রহের বিষয়। এটা তোলে স্থান শরীরের আন্দোলন, যা ছেদচিহ্ন, মুখ ও প্রান্ত একই সংখ্যক ছেড়ে যেমন বোঝা যায়। অন্য কথায়, অধীনে প্রতিসাম্য প্রভাবে প্রান্ত রূপান্তরের, প্রান্তবিন্দু, অথবা মুখ তার মূল অবস্থান বজায়, বা অন্য পাঁজর, অন্যান্য ছেদচিহ্ন বা মুখগুলির হোম অবস্থানে চলে আসে।

নিয়মিত polyhedra প্রতিসাম্য উপাদানসমূহ জ্যামিতিক কঠিন বস্তুর সব ধরনের সাধারণ ব্যাপার ছিল। এখানে এটা পরিচয় রূপান্তর, মূল অবস্থানে পয়েন্ট কোনো পাতার উপর পরিচালিত হয়। সুতরাং যখন আপনি চালু বহুভুজ প্রিজম কিছু symmetries পেতে পারেন। তাদের কোন প্রতিফলন পণ্য হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। সিমেট্রি, যা প্রতিচ্ছবি একজন জোড় সংখ্যা, সরাসরি নামক পণ্য। যদি প্রতিচ্ছবি একটি বিজোড় সংখ্যা গুণফল হয়, তাহলে এটা প্রতিক্রিয়া বলা হয়। সুতরাং, লাইন প্রায় সব পালাক্রমে সোজা প্রতিসাম্য প্রতিনিধিত্ব করে। কোন প্রতিফলন বহুতলক - বিপরীত প্রতিসাম্য হয়।

ভাল নিয়মিত polyhedra প্রতিসাম্য উপাদান বুঝতে, আপনি চতুস্তলক উদাহরণ গ্রহণ করতে পারেন। কোন লাইন যে ছেদচিহ্ন এবং কেন্দ্রে একজনের কাছ থেকে পাস হবে জ্যামিতিক আকৃতি, সঞ্চালিত, এবং এটা প্রান্ত বিপরীত কেন্দ্র দিয়ে হবে না। পালাক্রমে 120 এবং 240 ° লাইন প্রায় প্রত্যেকটি বহুবচন চতুস্তল প্রতিসাম্য জন্যে। 4 ছেদচিহ্ন এবং মুখমন্ডল যেহেতু, আমরা আট সরাসরি symmetries মোট পেতে। লাইন প্রান্ত মাঝখানে ও শরীরের সেন্টারের মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী থাকে, এটা বিপরীত প্রান্ত মাঝখান দিয়ে প্রেরণ করা হয়। 180 ° কোন ঘুর্ণন, সোজা প্রতিসাম্য প্রায় দেড়-টার্ন বলা হয়। যেহেতু চতুস্তলক পাঁজর তিন যুগল রয়েছে, আপনি প্রতিসাম্য তিন লাইন পেতে। উপরে উপরে ভিত্তি করে আমরা যে সরাসরি প্রতিসাম্য মোট সংখ্যা, এবং পরিচয় রূপান্তর সহ এই উপসংহারে আসতে পারি বারোজন আপ করা হবে। অন্যান্য সরাসরি প্রতিসাম্য চতুস্তলক বিদ্যমান নয়, কিন্তু এটি 12 বিপরীত প্রতিসাম্য হয়েছে। ফলে, শুধুমাত্র 24 চতুস্তলক symmetries চিহ্নিত। স্বচ্ছতা জন্য, আমরা একটি নিয়মিত পিচবোর্ড তৈরি চতুস্তলক মডেল গড়ে তোলা এবং এটা জ্যামিতিক শরীর সত্যিই শুধুমাত্র 24 প্রতিসাম্য আছে নিশ্চিত করতে পারেন।

দ্বাদশতলক এবং icosahedron - শরীর এলাকায় নিকটস্থ। Icosahedron মুখগুলির বৃহত্তম নম্বর, দ্বিতলকোণ এবং সব সবচেয়ে শক্তভাবে খোদাই গোলক থেকে আটকে থাকা পারবেন না। দ্বাদশতলক সর্বনিম্ন কৌণিক খুঁত বৃহত্তম কঠিন প্রান্তবিন্দু এ কোণ হয়েছে। এটা তোলে circumscribed গোলক পূরণ করার জন্য পূর্ণবিস্তার পারেন।

স্ক্যানিং polyhedra

নিয়মিত polyhedra স্ক্যান, যা আমরা সব শৈশব একসঙ্গে আটকে, ধারণার একটি অনেক আছে। যদি বহুভুজ একটি সেট, যা প্রতিটি পাশ বহুতলক একমাত্র একপাশে সঙ্গে চিহ্নিত করা হয়, দলগুলোর সনাক্তকরণ দুই অবস্থার সঙ্গে মেনে চলতে হবে:

• প্রতিটি বহুভুজ, আপনি একটি বহুভুজ দিকে সনাক্তকরণ থাকার যেতে পারেন;
• শনাক্তযোগ্য পাশ একই দৈর্ঘ্য থাকা উচিত।

এটা তোলে বহুভুজ যে এই শর্তগুলি সঠিকভাবে পূরণ একটি সেট, এবং একটি বহুতলক স্ক্যান বলা হয়। এই সংস্থা প্রত্যেকটি তাদের বিভিন্ন হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘনক্ষেত্র যা সেখানে 11 টুকরা আছে।