জ্যামিতিক অগ্রগতি এবং তার বৈশিষ্ট্য

জ্যামিতিক অগ্রগতি বিজ্ঞান এবং প্রয়োগযোগ্য উভয় ক্ষেত্রে গণিতের মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি একটি অত্যন্ত বিস্তৃত সুযোগ রয়েছে, এমনকি উচ্চ গণিত মধ্যে, বলে, সিরিজের তত্ত্ব। অগ্রগতি সম্পর্কে প্রথম তথ্য আমাদের প্রাচীন মিশর থেকে বিশেষ করে Rhind এর papyrus থেকে একটি পরিচিত কাজ আকারে, সাত বিড়ালের সাত ব্যক্তি আছে আমাদের কাছে পৌঁছেছেন। এই টাস্ক বিভিন্নতা বিভিন্ন জাতির বিভিন্ন সময়ে বিভিন্ন বার পুনরাবৃত্তি করা হয়। এছাড়াও পিসা মহান লিওনার্দো, ভাল Fibonacci (XIII শতাব্দী) হিসাবে পরিচিত, তার "Abacus বই" তার পরিণত।

সুতরাং, জ্যামিতিক অগ্রগতি একটি প্রাচীন ইতিহাস আছে। এটি একটি ননজারো প্রথম শব্দটির সাথে একটি সংখ্যাসূচক ক্রম এবং প্রতিটি পরের এক, দ্বিতীয় একের সাথে শুরু হয়, পূর্বের একটিকে একটি ননজারো সংখ্যা দ্বারা গুণিত করে পুনরাবৃত্ত সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা অগ্রগতি (এটি সাধারণত অক্ষর q দ্বারা চিহ্নিত করা হয়) বলা হয়।
স্পষ্টতই, আগের ক্রম অনুসারে ক্রমানুসারে প্রতিটি ক্রমশই সদস্যকে বিভক্ত করার মাধ্যমে এটি পাওয়া যেতে পারে, অর্থাৎ, z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... অতএব, অগ্রগতি (zn) নিজেই নির্ধারণ করতে, এটা যথেষ্ট যে তার প্রথম শব্দটি y এর মান এবং বিভাজক q জানা উচিত।

উদাহরণস্বরূপ, অনুমান করুন যে z 1 = 7, q = - 4 (q <0), তারপর নিম্নলিখিত জ্যামিতিক অগ্রগতি প্রাপ্ত করা হয়েছে: 7, - 28, 112, - 448, .... আমরা দেখতে হিসাবে, প্রাপ্ত সারণি monotonic নয়।

মনে রাখবেন যে একটি নির্বিচারে ক্রম হচ্ছে একঘেয়ে (ক্রমবর্ধমান / হ্রাস), যখন পরবর্তী প্রতিটি পদ আগের চেয়ে আগের চেয়ে কম। উদাহরণস্বরূপ, ক্রম 2, 5, 9, ... এবং -10, -100, -1000, ... একঘেয়ে, যা দ্বিতীয় যা হ্রাসকারী জ্যামিতিক অগ্রগতি।

ক্ষেত্রে যখন q = 1, অগ্রগতিতে সমস্ত পদ সমান এবং এটি ধ্রুব বলা হয়।

এই প্রকারের অগ্রগতির একটি অনুক্রমের জন্য, নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তটি পূরণ করতে হবে, যথা: দ্বিতীয় থেকে শুরু করে, এর প্রতিটি সদস্য প্রতিবেশী শর্তগুলির জ্যামিতিক গড় হওয়া আবশ্যক।

এই সম্পত্তি আমাদের পরিচিত দুই কাছাকাছি বেশী অগ্রগতি একটি নির্বিচারে শব্দ খুঁজে পেতে পারবেন।

জ্যামিতিক অগ্রগতির এন-তম শব্দ সূত্র থেকে সহজে পাওয়া যায়: zn = z 1 * q ^ (n-1), প্রথম শব্দটি Z 1 এবং বিভাজক q জানার।

যেহেতু সংখ্যাসূচক ক্রম একটি যোগফল আছে, কয়েক সহজ গণনা আমাদের একটি সূত্র প্রদান করবে যা আমাদের অগ্রগতির প্রথম পদগুলির সমষ্টি গণনা করতে দেয়, যথা:

এস এন = - (zn * q - z 1) / (1 - q)।

সূত্রটিতে z এর 1 * q ^ (n-1) এর অভিব্যক্তি দিয়ে zn এর পরিবর্তে, আমরা এই অগ্রগতির যোগফলের জন্য দ্বিতীয় সূত্রটি পাই: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q)।

নিম্নলিখিত আকর্ষণীয় সত্য মনোযোগের যোগ্য: প্রাচীন বেলুনের খননকালে একটি ক্লে ট্যাবলেট পাওয়া যায় , যা 6 ম শতাব্দীতে ফিরে এসেছে। বিসি, উল্লেখযোগ্যভাবে 1 + 2 +২ +২ + ... + ২9, সমান 10 তম দশমিকের দ্বিগুণ। এই ঘটনাটি এখনো সমাধান পাওয়া যায়নি।

আমরা জ্যামিতিক অগ্রগতির আরো একটি সম্পত্তি নোট - ক্রম এর ক্রম থেকে একটি সমান দূরত্ব এ দূরত্ব, তার পদ ধ্রুবক পণ্য।

একটি বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিকোণ থেকে বিশেষ গুরুত্ব থেকে একটি অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতি এবং তার সমষ্টি গণনার ধারণা। যদি আমরা অনুমান করি যে (yn) একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি হচ্ছে একটি সংখ্যার সংখ্যার q q। <1, তারপর তার সমষ্টি হবে যা আমাদের কাছে পরিচিত প্রথম শব্দের সমষ্টি, n এর একটি অসীম বৃদ্ধি দেওয়া, যার সাথে, তার সমষ্টি হবে আনন্দের কাছাকাছি

সূত্রের সাহায্যে শেষে এই যোগফল খুঁজুন:

এস এন = y 1 / (1 - q)।

এবং, অনুশীলন দেখিয়েছে, এই অগ্রগতির স্পষ্ট সরলতার পিছনে একটি বিশাল প্রয়োগযোগ্য সম্ভাব্যতা লুকানো আছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা নিম্নলিখিত একটি অ্যালগরিদম দ্বারা চৌকো একটি ক্রম গঠন, পূর্ববর্তী একটি পক্ষের মধ্যপয়েন্ট সংযুক্ত, তারপর তাদের এলাকায় বিভক্ত একটি অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতি গঠন 1/2। একই অগ্রগতি নির্মাণ প্রতিটি পর্যায়ে প্রাপ্ত ত্রিমাত্রিক এলাকার দ্বারা গঠিত হয়, এবং এর সমষ্টি মূল বর্গক্ষেত্রের এলাকা সমান।